MathLabs

第3問

s1,s2,s3,…s_1, s_2, s_3, \dots を正の整数からなる狭義単調増加数列とし、部分列 ss1,ss2,ss3,…s_{s_1}, s_{s_2}, s_{s_3}, \dots と ss1+1,ss2+1,ss3+1,…s_{s_1+1}, s_{s_2+1}, s_{s_3+1}, \dots がともに等差数列であるとする。このとき数列 s1,s2,s3,…s_1, s_2, s_3, \dots それ自身が等差数列であることを証明せよ。
ステップ 5/5: 増分が定数に確定する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

最大増分と最小増分が一致すれば、その間のすべての増分もその共通の値に等しくなければならない。

M=m=B−A  ⟹  dn≡B−A  ⟹  (sn) is arithmeticM=m=B-A \implies d_n \equiv B-A \implies (s_n)\text{ is arithmetic}
詳しい解説

手順3と手順4より M=B−A=mM=B-A=m。すべての nn で m≤dn≤Mm\le d_n\le M かつ m=Mm=M なので、すべての dnd_n がこの共通の値に等しい。したがって sn+1−sns_{n+1}-s_n は定数であり、s1,s2,s3,…s_1,s_2,s_3,\dots は求める通り等差数列である。■\blacksquare