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第4問

AB=ACAB = AC を満たす三角形 ABCABC を考える。∠CAB\angle CAB と ∠ABC\angle ABC の二等分線がそれぞれ辺 BCBC, CACA と交わる点を DD, EE とする。三角形 ADCADC の内心を KK とする。∠BEK=45∘\angle BEK = 45^\circ のとき、∠CAB\angle CAB としてありうる値をすべて求めよ。
ステップ 1/5: 対称軸上に座標を設定する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

AB=AC より二等分線 AD は BC の垂直二等分線でもあり、D を原点とする自然な直交座標系が得られる。

A=(0,1), C=(tan⁡2x,0), B=(−tan⁡2x,0),∠CAB=4x, 0<x<45∘A=(0,1),\ C=(\tan2x,0),\ B=(-\tan2x,0),\quad \angle CAB=4x,\ 0<x<45^\circ
詳しい解説

AB=ACAB=AC より ∠CAB\angle CAB の二等分線 ADAD は BCBC に垂直であり、DD は BCBC の中点である。特に ∠ADC=90∘\angle ADC=90^\circ。∠DAC=2x\angle DAC=2x とする（よって ∠CAB=∠BAD+∠DAC=4x\angle CAB=\angle BAD+\angle DAC=4x、0<x<45∘0<x<45^\circ）。DD を原点とし ADAD を yy 軸正方向に取り、AD=1AD=1 に正規化すると A=(0,1)A=(0,1)。直角三角形 ADCADC において tan⁡(∠DAC)=DC/AD\tan(\angle DAC)=DC/AD なので DC=tan⁡2xDC=\tan2x、C=(tan⁡2x,0)C=(\tan2x,0)；ADAD に関する鏡映対称性より B=(−tan⁡2x,0)B=(-\tan2x,0)。また AC=ADsec⁡2x=sec⁡2xAC=AD\sec2x=\sec2x。