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第4問

AB=ACAB = AC を満たす三角形 ABCABC を考える。∠CAB\angle CAB と ∠ABC\angle ABC の二等分線がそれぞれ辺 BCBC, CACA と交わる点を DD, EE とする。三角形 ADCADC の内心を KK とする。∠BEK=45∘\angle BEK = 45^\circ のとき、∠CAB\angle CAB としてありうる値をすべて求めよ。
ステップ 2/5: 直角三角形 ADC の内心として K を求める
前のステップ次のステップ
K=(ρ,ρ),ρ=12(1+tan⁡2x−sec⁡2x)K=(\rho,\rho),\qquad \rho=\tfrac12\left(1+\tan2x-\sec2x\right)
詳しい解説

三角形 ADCADC は DD で直角をなし、両座標軸上の直角辺 AD=1AD=1, DC=tan⁡2xDC=\tan2x と斜辺 AC=sec⁡2xAC=\sec2x を持つ。原点で直角をなし直角辺が座標軸上にある直角三角形では、内心は各直角辺から距離 ρ=12(leg1+leg2−hypotenuse)\rho=\tfrac12(\text{leg}_1+\text{leg}_2-\text{hypotenuse}) の位置、すなわち (ρ,ρ)(\rho,\rho) にある。ここでは ρ=12(1+tan⁡2x−sec⁡2x)\rho=\tfrac12\left(1+\tan2x-\sec2x\right) なので K=(ρ,ρ)K=(\rho,\rho)。