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第4問

AB=ACAB = AC を満たす三角形 ABCABC を考える。∠CAB\angle CAB と ∠ABC\angle ABC の二等分線がそれぞれ辺 BCBC, CACA と交わる点を DD, EE とする。三角形 ADCADC の内心を KK とする。∠BEK=45∘\angle BEK = 45^\circ のとき、∠CAB\angle CAB としてありうる値をすべて求めよ。
ステップ 3/5: B からの二等分線で E を求める
前のステップ次のステップ
E=(tan⁡2x1+2sin⁡2x, 2sin⁡2x1+2sin⁡2x)E=\left(\dfrac{\tan2x}{1+2\sin2x},\ \dfrac{2\sin2x}{1+2\sin2x}\right)
詳しい解説

底角は ∠ABC=∠ACB=90∘−2x\angle ABC=\angle ACB=90^\circ-2x。三角形 ABCABC における BEBE に角の二等分線定理を適用すると AEEC=ABBC=ACBC=sec⁡2x2tan⁡2x=12sin⁡2x\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{\sec2x}{2\tan2x}=\dfrac{1}{2\sin2x}（AB=AC=sec⁡2xAB=AC=\sec2x、BC=2tan⁡2xBC=2\tan2x を使用）。よって E=A+11+2sin⁡2x(C−A)=(tan⁡2x1+2sin⁡2x, 2sin⁡2x1+2sin⁡2x)E=A+\dfrac{1}{1+2\sin2x}(C-A)=\left(\dfrac{\tan2x}{1+2\sin2x},\ \dfrac{2\sin2x}{1+2\sin2x}\right)。