∠BEK=45∘\angle BEK=45^\circ∠BEK=45∘ という条件は、ベクトル EB⃗\vec{EB}EB と EK⃗\vec{EK}EK が 45∘45^\circ45∘ の角をなすこと、すなわち EB⃗×EK⃗=EB⃗⋅EK⃗\vec{EB}\times\vec{EK}=\vec{EB}\cdot\vec{EK}EB×EK=EB⋅EK（手順1〜3の座標から計算される外積と内積が等しい）と同値である。t=tanxt=\tan xt=tanx とおき sin2x=2t1+t2\sin2x=\tfrac{2t}{1+t^2}sin2x=1+t22t、cos2x=1−t21+t2\cos2x=\tfrac{1-t^2}{1+t^2}cos2x=1+t21−t2 と表すと、すべての座標が ttt の有理関数になる。分母を払うと、方程式 EB⃗×EK⃗−EB⃗⋅EK⃗=0\vec{EB}\times\vec{EK}-\vec{EB}\cdot\vec{EK}=0EB×EK−EB⋅EK=0 はちょうど 8t2(t2−4t+1)(t2+2t−1)=08t^2\left(t^2-4t+1\right)\left(t^2+2t-1\right)=08t2(t2−4t+1)(t2+2t−1)=0 に因数分解される。