MathLabs

第4問

AB=ACAB = AC を満たす三角形 ABCABC を考える。∠CAB\angle CAB と ∠ABC\angle ABC の二等分線がそれぞれ辺 BCBC, CACA と交わる点を DD, EE とする。三角形 ADCADC の内心を KK とする。∠BEK=45∘\angle BEK = 45^\circ のとき、∠CAB\angle CAB としてありうる値をすべて求めよ。
ステップ 5/5: 各因子を解いて結論する
前のステップ次のステップ
t=2−3=tan⁡15∘  or  t=2−1=tan⁡22.5∘  ⟹  ∠CAB∈{60∘,90∘}t=2-\sqrt3=\tan15^\circ \ \text{ or }\ t=\sqrt2-1=\tan22.5^\circ \implies \angle CAB\in\{60^\circ,90^\circ\}
詳しい解説

0<x<45∘0<x<45^\circ より t=tan⁡x∈(0,1)t=\tan x\in(0,1) なので、因子 t2t^2 からは許容される解は得られない。因子 t2−4t+1=0t^2-4t+1=0 は t=2±3t=2\pm\sqrt3 を与え、(0,1)(0,1) 内の根は t=2−3=tan⁡15∘t=2-\sqrt3=\tan15^\circ なので x=15∘x=15^\circ。因子 t2+2t−1=0t^2+2t-1=0 は t=−1±2t=-1\pm\sqrt2 を与え、(0,1)(0,1) 内の根は t=2−1=tan⁡22.5∘t=\sqrt2-1=\tan22.5^\circ なので x=22.5∘x=22.5^\circ。どちらの値も実際に ∠BEK=45∘\angle BEK=45^\circ を満たし（手順1〜3の座標に直接代入すると各々で EB⃗⋅EK⃗=22 ∣EB⃗∣ ∣EK⃗∣\vec{EB}\cdot\vec{EK}=\tfrac{\sqrt2}{2}\,|\vec{EB}|\,|\vec{EK}| が確認できる）、0<15∘,22.5∘<45∘0<15^\circ,22.5^\circ<45^\circ も満たす。∠CAB=4x\angle CAB=4x なので、ありうる値は ∠CAB=60∘\angle CAB=60^\circ と ∠CAB=90∘\angle CAB=90^\circ である。■\blacksquare