第5問

正の整数全体から正の整数全体への関数

f

で、任意の正の整数

a

、

b

に対して、辺の長さが

a

f(b)

f(b+f(a)-1)

である退化しない三角形が存在するようなものをすべて求めよ。（三角形が退化しないとは、その頂点が一直線上にないことをいう。）

ステップ 1/4: f(1) = 1 であり f は対合である

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

三角不等式において長さ1の辺が最も制約が強いため、a=1を試すとf(1)が定まり、その後b=1を試すとfは自分自身の逆写像になる。

f(1)=1,\qquad f(f(n))=n\ \text{ for every } n

詳しい解説

$a=1$ とすると、辺 $1,f(b),f(b+f(1)-1)$ を持つ三角形において、残り二辺の差は第三辺 $1$ より小さい。 $f(b)$ と $f(b+f(1)-1)$ は整数なので、すべての $b$ で両者は等しくなければならない。 $f(1)>1$ なら $N=f(1)-1\ge1$ とおくと、すべての $b$ で $f(b)=f(b+N)$ となり $f$ は周期 $N$ の周期関数となるため有界（例えば $f\le B$ ）である。しかし $b$ を固定し $a$ を任意に大きく取ると、元の条件は $a<f(b)+f(b+f(a)-1)\le 2B$ を要求し、 $a$ が大きいと不可能である。よって $f(1)=1$ 。次に $b=1$ とすると、辺 $n,f(1)=1,f(1+f(n)-1)=f(f(n))$ を持つ三角形において、再び二辺（ $n$ と $f(f(n))$ ）の差が第三辺 $1$ より小さくなり、整数であることから、すべての $n$ で $f(f(n))=n$ を得る。