第5問

$f(f(n))=n$ より $f$ は単射なので $f(2)\ne f(1)=1$、よって $\Delta:=f(2)-1\ge1$。$a=2,b=f(n)$ とすると、辺 $2,f(f(n)),f(f(n)+f(2)-1)=2,n,f(f(n)+\Delta)$ を持つ三角形は $|n-f(f(n)+\Delta)|<2$ を強制し、$y:=f(f(n)+\Delta)\in\{n-1,n,n+1\}$ となる。$y=f(f(n)+\Delta)$ に $f$ を適用する（$f\circ f=\mathrm{id}$ を用いる）と $f(y)=f(n)+\Delta$ を得る。$y=n$ ならこれは $f(n)=f(n)+\Delta$ となり、$\Delta>0$ に矛盾する。よって $y=n\pm1$ であり、$f(n+1)=f(n)+\Delta$ または $f(n-1)=f(n)+\Delta$ を得る。