第5問

$f$ に手順3の式 $f(n)=1+(n-1)\Delta$ を再び用いると、$f(f(n))=1+(f(n)-1)\Delta=1+(n-1)\Delta^2$。手順1より $f(f(n))=n$ なので、すべての $n$ について $1+(n-1)\Delta^2=n$、すなわち $(n-1)(\Delta^2-1)=0$ がすべての $n$ について成り立つ。$n=2$ とすると $\Delta^2=1$、よって（$\Delta>0$ より）$\Delta=1$。したがってすべての $n$ で $f(n)=1+(n-1)=n$。逆に $f(x)=x$ は条件を満たす：三つ組 $a,b,a+b-1$ は $a+b-1<a+b$、$a<b+(a+b-1)$、$b<a+(a+b-1)$（いずれも $a,b\ge1$ に帰着する）を満たすので、常に退化しない三角形になる。よって $f(x)=x$ が唯一の解である。$\blacksquare$