第1問

すべての実数

x,y

に対して

f(\lfloor x\rfloor y)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor

を満たす関数

f:\mathbb R\to\mathbb R

をすべて求めよ。

ステップ 1/6: 第一変数に零を代入する

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

零の床関数によって左辺は第二変数に依存しなくなり、原点での値が右辺のすべての床関数を支配する。

f(0)=f(0)\lfloor f(y)\rfloor\quad\text{for all }y\in\mathbb R

詳しい解説

$x=0$ を代入すると、すべての実数 $y$ に対して $f(0)=f(0)\lfloor f(y)\rfloor$ を得る。 $f(0)\ne0$ ならば $f(0)$ で割って $\lfloor f(y)\rfloor=1$ がすべての $y$ で成り立ち、したがって $1\le f(y)<2$ である。それ以外は $f(0)=0$ の場合である。