MathLabs

第1問

すべての実数 x,yx,y に対して f(⌊x⌋y)=f(x)⌊f(y)⌋f(\lfloor x\rfloor y)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor を満たす関数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R をすべて求めよ。
ステップ 2/6: 原点で非零なら定数になる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

すべての値の床関数が一なら、第二変数を零にすることで方程式は原点の値を全域に移す。

f(x)=f(0)=c,1≤c<2f(x)=f(0)=c,\quad 1\le c<2
詳しい解説

f(0)≠0f(0)\ne0 の場合、元の方程式に y=0y=0 を代入する。⌊f(0)⌋=1\lfloor f(0)\rfloor=1 なので、すべての xx について f(0)=f(x)⌊f(0)⌋=f(x)f(0)=f(x)\lfloor f(0)\rfloor=f(x) となる。よって ff は定数 f(x)=cf(x)=c であり、先ほどの評価から 1≤c<21\le c<2 である。