MathLabs

第1問

すべての実数 x,yx,y に対して f(⌊x⌋y)=f(x)⌊f(y)⌋f(\lfloor x\rfloor y)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor を満たす関数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R をすべて求めよ。
ステップ 3/6: 原点が零の分岐を一で分ける
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

入力が一のときの同じ方程式から、零か、床関数が一となる値だけが残る。

f(1)=f(1)⌊f(1)⌋⟹f(1)=0 or 1≤f(1)<2f(1)=f(1)\lfloor f(1)\rfloor\quad\Longrightarrow\quad f(1)=0\ \text{or}\ 1\le f(1)<2
詳しい解説

ここで f(0)=0f(0)=0 と仮定する。x=y=1x=y=1 とすると f(1)=f(1)⌊f(1)⌋f(1)=f(1)\lfloor f(1)\rfloor となる。したがって f(1)=0f(1)=0 または ⌊f(1)⌋=1\lfloor f(1)\rfloor=1、すなわち 1≤f(1)<21\le f(1)<2 である。