第1問

すべての実数

x,y

に対して

f(\lfloor x\rfloor y)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor

を満たす関数

f:\mathbb R\to\mathbb R

をすべて求めよ。

ステップ 5/6: 残る分岐は不可能である

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

床関数による不変性から最初の単位区間のすべての点は原点と同じになり、適切な一組の入力が一での値と矛盾する。

f(1)=f(2)\lfloor f(1/2)\rfloor=0

詳しい解説

$1\le f(1)<2$ の場合を排除する。この場合 $\lfloor f(1)\rfloor=1$ なので、 $y=1$ とするとすべての $x$ について $f(\lfloor x\rfloor)=f(x)$ となる。 $0\le x<1$ では $f(x)=f(0)=0$ 、したがって $f(1/2)=0$ である。ここで $x=2$ 、 $y=1/2$ と選ぶと、方程式は $f(1)=f(2)\lfloor f(1/2)\rfloor=0$ を与え、 $1\le f(1)$ に矛盾する。