MathLabs

第2問

三角形 ABCABC の内心を II、外接円を Γ\Gamma とする。直線 AIAI と Γ\Gamma のもう一つの交点を DD とする。EE を弧 BDCBDC（AA を含まない弧）上の点とし、FF を辺 BCBC 上の点で ∠BAF=∠CAE<12∠BAC\angle BAF=\angle CAE<\dfrac12\angle BAC を満たすものとする。GG を線分 IFIF の中点とする。直線 DGDG と EIEI の交点が Γ\Gamma 上にあることを証明せよ。
ステップ 1/6: AIは角FAEの二等分線である
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

FF と EE が ∠BAF=∠CAE\angle BAF=\angle CAE を満たすように選ばれているため、∠BAC\angle BAC の二等分線 AIAI は新しい角 ∠FAE\angle FAE も自動的に二等分する。

∠FAI=∠EAI\angle FAI=\angle EAI
詳しい解説

AIAI は ∠BAC\angle BAC の二等分線なので ∠BAI=∠CAI=12∠BAC\angle BAI=\angle CAI=\tfrac12\angle BAC が成り立つ。この等しい半分から仮定 ∠BAF=∠CAE\angle BAF=\angle CAE を引くと ∠FAI=∠BAI−∠BAF=∠CAI−∠CAE=∠EAI\angle FAI=\angle BAI-\angle BAF=\angle CAI-\angle CAE=\angle EAI となり、AIAI は ∠FAE\angle FAE も二等分することが分かる。さらに、AIAI と Γ\Gamma の二つ目の交点である DD は、EE が乗っている弧 BDCBDC の中点である。