MathLabs

第2問

三角形 ABCABC の内心を II、外接円を Γ\Gamma とする。直線 AIAI と Γ\Gamma のもう一つの交点を DD とする。EE を弧 BDCBDC（AA を含まない弧）上の点とし、FF を辺 BCBC 上の点で ∠BAF=∠CAE<12∠BAC\angle BAF=\angle CAE<\dfrac12\angle BAC を満たすものとする。GG を線分 IFIF の中点とする。直線 DGDG と EIEI の交点が Γ\Gamma 上にあることを証明せよ。
ステップ 3/6: 内心と傍心までの距離を結ぶ積の恒等式
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

AIAI と AA′AA' はどちらも AA からの半角による距離であり、ABAB と ACAC に対する正弦定理と組み合わせると、それらの積は同じ式に帰着し、求める恒等式が得られる。

AB⋅AC=AI⋅AA′AB\cdot AC=AI\cdot AA'
詳しい解説

正弦定理より AB=2Rsin⁡CAB=2R\sin C、AC=2Rsin⁡BAC=2R\sin B（RR は外接円の半径）。内心・傍心までの標準的な距離公式から AI=4Rsin⁡B2sin⁡C2AI=4R\sin\tfrac{B}{2}\sin\tfrac{C}{2}、AA′=4Rcos⁡B2cos⁡C2AA'=4R\cos\tfrac{B}{2}\cos\tfrac{C}{2} が得られる。これらを掛け合わせると、sin⁡θ=2sin⁡θ2cos⁡θ2\sin\theta=2\sin\tfrac{\theta}{2}\cos\tfrac{\theta}{2} を用いて AI⋅AA′=16R2sin⁡B2sin⁡C2cos⁡B2cos⁡C2=4R2sin⁡Bsin⁡C=AB⋅ACAI\cdot AA'=16R^2\sin\tfrac{B}{2}\sin\tfrac{C}{2}\cos\tfrac{B}{2}\cos\tfrac{C}{2}=4R^2\sin B\sin C=AB\cdot AC となる。