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第2問

三角形 ABCABC の内心を II、外接円を Γ\Gamma とする。直線 AIAI と Γ\Gamma のもう一つの交点を DD とする。EE を弧 BDCBDC（AA を含まない弧）上の点とし、FF を辺 BCBC 上の点で ∠BAF=∠CAE<12∠BAC\angle BAF=\angle CAE<\dfrac12\angle BAC を満たすものとする。GG を線分 IFIF の中点とする。直線 DGDG と EIEI の交点が Γ\Gamma 上にあることを証明せよ。
ステップ 4/6: Aでの等角から得られる相似三角形
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

EE は遠い方の弧上にあるので ∠AEC=∠ABC\angle AEC=\angle ABC が成り立ち、仮定 ∠BAF=∠EAC\angle BAF=\angle EAC と合わせると三角形 ABFABF と AECAEC は相似になり、辺の積は先ほどと同じ積に一致する。

AF⋅AE=AB⋅AC=AI⋅AA′  ⟹  AFAA′=AIAEAF\cdot AE=AB\cdot AC=AI\cdot AA'\implies\dfrac{AF}{AA'}=\dfrac{AI}{AE}
詳しい解説

点 A,B,E,CA,B,E,C は Γ\Gamma 上にあり、BB と EE は弦 ACAC の同じ側にある（どちらも弧 BDCBDC 上）。したがって円周角の定理より ∠AEC=∠ABC=∠ABF\angle AEC=\angle ABC=\angle ABF が成り立つ。FF が BCBC 上にあることから得られる仮定 ∠BAF=∠EAC\angle BAF=\angle EAC と合わせると、三角形 ABFABF と AECAEC はAAで相似となり、ABAE=AFAC\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AF}{AC}、すなわち AF⋅AE=AB⋅ACAF\cdot AE=AB\cdot AC が得られる。手順3の等式 AB⋅AC=AI⋅AA′AB\cdot AC=AI\cdot AA' と合わせると AF⋅AE=AI⋅AA′AF\cdot AE=AI\cdot AA' となり、これは AFAA′=AIAE\dfrac{AF}{AA'}=\dfrac{AI}{AE} と書き換えられる。