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第2問

三角形 ABCABC の内心を II、外接円を Γ\Gamma とする。直線 AIAI と Γ\Gamma のもう一つの交点を DD とする。EE を弧 BDCBDC（AA を含まない弧）上の点とし、FF を辺 BCBC 上の点で ∠BAF=∠CAE<12∠BAC\angle BAF=\angle CAE<\dfrac12\angle BAC を満たすものとする。GG を線分 IFIF の中点とする。直線 DGDG と EIEI の交点が Γ\Gamma 上にあることを証明せよ。
ステップ 5/6: SAS相似によりA'とEでの角が一致する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

点 AA、II、DD、A′A' はすべて AA から出る同じ半直線上にあるので、AFAF とその半直線のなす角は AEAE とその半直線のなす角に等しい。手順4の辺の比と合わせると、これにより三角形 FAA′FAA' と IAEIAE が相似になることが強制される。

∠FAA′=∠IAE  ⟹  △FAA′∼△IAE  ⟹  ∠FA′A=∠IEA\angle FAA'=\angle IAE\implies\triangle FAA'\sim\triangle IAE\implies\angle FA'A=\angle IEA
詳しい解説

II、DD、A′A' はすべて AA から伸びる半直線 AIAI 上にあるので、∠FAA′=∠FAI\angle FAA'=\angle FAI かつ ∠IAE=∠EAI\angle IAE=\angle EAI となる。手順1より ∠FAI=∠EAI\angle FAI=\angle EAI なので ∠FAA′=∠IAE\angle FAA'=\angle IAE が成り立つ。手順4の AFAA′=AIAE\dfrac{AF}{AA'}=\dfrac{AI}{AE} と合わせると、これはちょうど対応 F↔I, A↔A, A′↔EF\leftrightarrow I,\ A\leftrightarrow A,\ A'\leftrightarrow E のもとでの △FAA′∼△IAE\triangle FAA'\sim\triangle IAE のSAS条件になっている。相似な三角形から ∠AA′F=∠AEI\angle AA'F=\angle AEI、すなわち ∠FA′A=∠IEA\angle FA'A=\angle IEA が得られる。