MathLabs

第3問

g:Z>0→Z>0g:\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0} を満たす関数で、すべての m,n∈Z>0m,n\in\mathbb{Z}_{>0} に対して (g(m)+n)(g(n)+m)\left(g(m)+n\right)\left(g(n)+m\right) が平方数となるものをすべて求めよ。
ステップ 1/6: 候補となる解の族を確認する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

g(n)=n+cg(n)=n+c とすれば二つの因子は一致するので、その積は自動的に平方数になる。

g(n)=n+c,c≥0g(n)=n+c,\quad c\ge0
詳しい解説

固定した整数 c≥0c\ge0 に対して g(n)=n+cg(n)=n+c と定める。このとき gg は正整数を正整数へ写し、P(m,n)=(g(m)+n)(g(n)+m)=(m+n+c)2P(m,n)=(g(m)+n)(g(n)+m)=(m+n+c)^2 となる。したがってこの族のすべての関数は条件を満たす。あとは他の関数がないことを示す。