第3問

g:\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}

を満たす関数で、すべての

m,n\in\mathbb{Z}_{>0}

に対して

\left(g(m)+n\right)\left(g(n)+m\right)

が平方数となるものをすべて求めよ。

ステップ 2/6: 平方積条件に記号を付ける

P(m,n)=(g(m)+n)(g(n)+m)\in\{1^2,2^2,3^2,\ldots\}

詳しい解説

与えられた条件を $P(m,n)=(g(m)+n)(g(n)+m)$ と書く。すべての $P(m,n)$ は正の平方数である。二つのそのような積における素数の付値の偶奇を比較する。