第3問

素数 $p$ と正整数 $a,b$ を固定し、$g(a)\equiv g(b)\pmod p$ とする。$v_p(M+g(a))$ と $v_p(M+g(b))$ がともに奇数になるよう十分大きい正整数 $M$ を選ぶ。この選択は、$p$ の十分高い冪を法とする $M$ の適切な剰余類を選べば可能である。二つの定数の差が $p$ の少なくとも二つの冪で割り切れる（または差が零の）場合は両方の付値を $1$ にでき、差が $p$ のちょうど一つの冪で割り切れる場合は付値を $1$ と $3$ にできる。$P(M,a)=(g(M)+a)(g(a)+M)$ は平方数だから、$M+g(a)$ の奇数付値により $a+g(M)$ の p 進付値も奇数、したがって $p\mid a+g(M)$ となる。同様に $b$ について $p\mid b+g(M)$。よって $a\equiv b\pmod p$ である。