第3問

g:\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}

を満たす関数で、すべての

m,n\in\mathbb{Z}_{>0}

に対して

\left(g(m)+n\right)\left(g(n)+m\right)

が平方数となるものをすべて求めよ。

ステップ 4/6: 隣接差と単射性を導く

前のステップ次のステップ

g(k+1)-g(k)\in\{-1,1\},\qquad g(a)=g(b)\Longrightarrow a=b

詳しい解説

$g(k)=g(k+1)$ なら、任意の素数 $p$ を法として主張を適用すると $k\equiv k+1\pmod p$ となり矛盾する。もし $|g(k+1)-g(k)|>1$ なら、この差を割る素数 $p$ を選べば $g(k)\equiv g(k+1)\pmod p$ であり、再び同じ矛盾を得る。したがって $|g(k+1)-g(k)|=1$ 。さらに $a\ne b$ かつ $g(a)=g(b)$ なら、剛性の主張をすべての素数 $p$ に適用できるので、すべての素数について $a\equiv b\pmod p$ となる。 $|a-b|$ より大きい素数を選べば $a=b$ が強制されるため、 $g$ は単射である。