MathLabs

第3問

g:Z>0→Z>0g:\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0} を満たす関数で、すべての m,n∈Z>0m,n\in\mathbb{Z}_{>0} に対して (g(m)+n)(g(n)+m)\left(g(m)+n\right)\left(g(n)+m\right) が平方数となるものをすべて求めよ。
ステップ 6/6: 解を完全に決定する
前のステップ次のステップ
g(k+1)−g(k)=1 for all kg(k+1)-g(k)=1\text{ for all }k
詳しい解説

g(k+1)−g(k)=1g(k+1)-g(k)=1 を k=1k=1 から k=n−1k=n-1 まで足すと、g(n)=g(1)+n−1=n+cg(n)=g(1)+n-1=n+c、ただし c=g(1)−1≥0c=g(1)-1\ge0 となる。手順1でこの形のすべての関数が条件を満たすことを確認したので、これが全解である。■\blacksquare