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第4問

三角形 ABCABC（ただし CA≠CBCA \neq CB）の内部の点を PP とする。直線 APAP, BPBP, CPCP が外接円 Γ\Gamma と再び交わる点をそれぞれ KK, LL, MM とする。CC における Γ\Gamma の接線が直線 ABAB と交わる点を SS とする。SC=SPSC = SP ならば MK=MLMK = ML であることを示せ。
ステップ 1/5: 共線関係を確認し X を導入する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

K, L, M は単にセビアン AP, BP, CP と円との第二交点なので、各セビアンは P を通る弦そのものである。M からのもう一本の接線が SPC と比較できる新たな二等辺三角形を与える。

A,P,K colinear;B,P,L colinear;C,P,M colinear;X=(tangent at M)∩SCA,P,K\ \text{colinear};\quad B,P,L\ \text{colinear};\quad C,P,M\ \text{colinear};\qquad X=(\text{tangent at }M)\cap SC
詳しい解説

定義より KK は直線 APAP と Γ\Gamma の第二交点なので AA, PP, KK は共線である。同様に BB, PP, LL も共線、CC, PP, MM も共線であり、PP は CC と MM の間に厳密に位置する（PP は三角形の内部、したがって Γ\Gamma の内部にあるため）。MM における Γ\Gamma の接線と、直線 SCSC（SS がその上に定義された、CC における Γ\Gamma の接線でもある）との交点を XX とする。この XX が、二つの二等辺三角形を比較する際の頂点となる。