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第4問

三角形 ABCABC（ただし CA≠CBCA \neq CB）の内部の点を PP とする。直線 APAP, BPBP, CPCP が外接円 Γ\Gamma と再び交わる点をそれぞれ KK, LL, MM とする。CC における Γ\Gamma の接線が直線 ABAB と交わる点を SS とする。SC=SPSC = SP ならば MK=MLMK = ML であることを示せ。
ステップ 2/5: 二つの二等辺三角形から MX と PS の平行が従う
前のステップ次のステップ
XM=XC, SP=SC   ⟹   ∠XMC=∠XCM=∠SCP=∠SPC   ⟹   MX∥PSXM=XC,\ SP=SC\ \implies\ \angle XMC=\angle XCM=\angle SCP=\angle SPC\ \implies\ MX\parallel PS
詳しい解説

XMXM と XCXC は XX から Γ\Gamma への二本の接線分なので等しく、よって三角形 XMCXMC は二等辺三角形であり ∠XMC=∠XCM\angle XMC=\angle XCM。CC, PP, MM が共線（手順1）なので、半直線 CMCM は半直線 CPCP に等しく ∠XCM=∠XCP\angle XCM=\angle XCP；また XX は直線 SCSC 上にあるので半直線 CXCX は半直線 CSCS に等しく ∠XCP=∠SCP\angle XCP=\angle SCP。一方、仮定より SP=SCSP=SC なので三角形 SPCSPC は頂点 SS を持つ二等辺三角形であり ∠SPC=∠SCP\angle SPC=\angle SCP。これらの等式をつなげると ∠XMC=∠SPC\angle XMC=\angle SPC。これらは共通の横断線 CPMCPM に対して MXMX と PSPS がそれぞれ MM と PP で作る角なので、対応角が等しいことから MX∥PSMX\parallel PS。