MathLabs

第4問

三角形 ABCABC（ただし CA≠CBCA \neq CB）の内部の点を PP とする。直線 APAP, BPBP, CPCP が外接円 Γ\Gamma と再び交わる点をそれぞれ KK, LL, MM とする。CC における Γ\Gamma の接線が直線 ABAB と交わる点を SS とする。SC=SPSC = SP ならば MK=MLMK = ML であることを示せ。
ステップ 3/5: S の方冪から相似が得られる
前のステップ次のステップ
SC2=SA⋅SB=SP2   ⟹   SPSA=SBSP   ⟹   △SPA∼△SBP   ⟹   ∠SAP=∠SPBSC^2=SA\cdot SB=SP^2\ \implies\ \dfrac{SP}{SA}=\dfrac{SB}{SP}\ \implies\ \triangle SPA\sim\triangle SBP\ \implies\ \angle SAP=\angle SPB
詳しい解説

SCSC は CC で Γ\Gamma に接し、S,A,BS,A,B は共線なので、SS の Γ\Gamma に関する方冪は SC2SC^2 にも SA⋅SBSA\cdot SB にも等しく、SC2=SA⋅SBSC^2=SA\cdot SB。仮定 SP=SCSP=SC と合わせると SP2=SA⋅SBSP^2=SA\cdot SB、すなわち SP/SA=SB/SPSP/SA=SB/SP が得られる。三角形 SPASPA と SBPSBP は SS における角を共有し（直線 SA=SBSA=SB と SPSP のなす頂点 SS での角 ∠ASP=∠PSB\angle ASP=\angle PSB は同一の角である）、その角を挟む辺がこの比で比例するので、SAS 相似より △SPA∼△SBP\triangle SPA\sim\triangle SBP。相似な三角形の対応する角を対応させると ∠SAP=∠SPB\angle SAP=\angle SPB が得られる。