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第4問

三角形 ABCABC（ただし CA≠CBCA \neq CB）の内部の点を PP とする。直線 APAP, BPBP, CPCP が外接円 Γ\Gamma と再び交わる点をそれぞれ KK, LL, MM とする。CC における Γ\Gamma の接線が直線 ABAB と交わる点を SS とする。SC=SPSC = SP ならば MK=MLMK = ML であることを示せ。
ステップ 5/5: M が弧 LK を二等分することを結論し MK = ML を得る
前のステップ次のステップ
MX∥PS∥LK   ⟹   MX∥LK   ⟹   M is the midpoint of arc LK   ⟹   MK=MLMX\parallel PS\parallel LK\ \implies\ MX\parallel LK\ \implies\ M\ \text{is the midpoint of arc } LK\ \implies\ MK=ML
詳しい解説

手順2と手順4より MX∥PSMX\parallel PS かつ PS∥LKPS\parallel LK；平行の推移性により MX∥LKMX\parallel LK。ところが MXMX は MM における Γ\Gamma の接線の一部であり、LKLK は Γ\Gamma の弦である。円上の一点における接線がある弦に平行であるのは、その点がその弦が定める二つの弧のいずれかの中点であるとき、かつそのときに限る。よって MM は（直線 CMCM のもう一つの交点を含まない側の）弧 LKLK の中点であり、弧 MKMK と MLML が等しいことを意味し、それらが張る弦も等しい：MK=MLMK=ML。■\blacksquare