MathLabs

第5問

6個の箱 B1,B2,B3,B4,B5,B6B_1,B_2,B_3,B_4,B_5,B_6 には最初それぞれ1枚のコインが入っている。種類1の操作では、1≤j≤51\le j\le5 を満たす空でない箱 BjB_j を選び、コインを1枚取り出して Bj+1B_{j+1} に2枚加える。種類2の操作では、1≤k≤41\le k\le4 を満たす空でない箱 BkB_k を選び、コインを1枚取り出し、（空でもよい）箱 Bk+1B_{k+1} と Bk+2B_{k+2} の中身を交換する。有限回の操作によって B1,B2,B3,B4,B5B_1,B_2,B_3,B_4,B_5 を空にし、B6B_6 にちょうど 2010201020102010^{2010^{2010}} 枚のコインを入れられるか判定せよ。ここで abca^{b^c} は a(bc)a^{(b^c)} を意味する。
ステップ 4/5: 余分を正確に捨てる
前のステップ次のステップ
(0,A,0,0)→(0,D4,0,0)D=201020102010(0,A,0,0)\to\left(0,\frac{D}{4},0,0\right)\qquad D=2010^{2010^{2010}}
詳しい解説

AA の入った箱で、次の2箱が空のまま種類2を繰り返す。この操作は1枚だけを取り除き、他の中身を変えない。A>D/4A>D/4 なので、その箱がちょうど D/4D/4 になったところで止める。D=201020102010D=2010^{2010^{2010}} は（実際 20102010 が偶数なので）44 で割り切れるため可能である。このとき最後の4箱の配置は (0,D/4,0,0)(0,D/4,0,0) である。