MathLabs

第6問

a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\ldots を正の実数からなる数列とする。ある正整数 ss に対して、すべての n>sn>s で an=max⁡{ak+an−k∣1≤k≤n−1}a_n=\max\{a_k+a_{n-k}\mid 1\le k\le n-1\} が成り立つと仮定する。ℓ≤s\ell\le s を満たす正整数 ℓ\ell と正整数 NN が存在して、すべての n≥Nn\ge N で an=aℓ+an−ℓa_n=a_\ell+a_{n-\ell} となることを証明せよ。
ステップ 1/9: 最大値漸化式から始める
前のステップ次のステップ
an=max⁡1≤k≤n−1(ak+an−k)(n>s)a_n=\max_{1\le k\le n-1}(a_k+a_{n-k})\quad(n>s)
詳しい解説

仮定は an=max⁡1≤k≤n−1(ak+an−k)(n>s)a_n=\max_{1\le k\le n-1}(a_k+a_{n-k})\quad(n>s) である。右辺の項に ss より大きい添字が現れたら、同じ規則でその項をさらに展開する。