MathLabs

第6問

a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\ldots を正の実数からなる数列とする。ある正整数 ss に対して、すべての n>sn>s で an=max⁡{ak+an−k∣1≤k≤n−1}a_n=\max\{a_k+a_{n-k}\mid 1\le k\le n-1\} が成り立つと仮定する。ℓ≤s\ell\le s を満たす正整数 ℓ\ell と正整数 NN が存在して、すべての n≥Nn\ge N で an=aℓ+an−ℓa_n=a_\ell+a_{n-\ell} となることを証明せよ。
ステップ 2/9: 初期項への展開
前のステップ次のステップ
an=ai1+⋯+ait,1≤ij≤s,i1+⋯+it=na_n=a_{i_1}+\cdots+a_{i_t},\quad 1\le i_j\le s,\quad i_1+\cdots+i_t=n
詳しい解説

各展開で展開対象の添字が小さくなるので、過程は有限回で終わる。したがって各 ana_n は an=ai1+⋯+ait,1≤ij≤s,i1+⋯+it=na_n=a_{i_1}+\cdots+a_{i_t},\quad 1\le i_j\le s,\quad i_1+\cdots+i_t=n と表せる。各添字は ss 以下であり、各段階では最大値を与える分割を選んでいる。