MathLabs

第6問

a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\ldots を正の実数からなる数列とする。ある正整数 ss に対して、すべての n>sn>s で an=max⁡{ak+an−k∣1≤k≤n−1}a_n=\max\{a_k+a_{n-k}\mid 1\le k\le n-1\} が成り立つと仮定する。ℓ≤s\ell\le s を満たす正整数 ℓ\ell と正整数 NN が存在して、すべての n≥Nn\ge N で an=aℓ+an−ℓa_n=a_\ell+a_{n-\ell} となることを証明せよ。
ステップ 3/9: 初期の最大傾きを選ぶ
前のステップ次のステップ
q=max⁡1≤i≤saii,aℓ/ℓ=qq=\max_{1\le i\le s}\frac{a_i}{i},\qquad a_\ell/\ell=q
詳しい解説

q=max⁡1≤i≤saii,aℓ/ℓ=qq=\max_{1\le i\le s}\frac{a_i}{i},\qquad a_\ell/\ell=q を最大値を達する添字 ℓ\ell について定める。このとき 1≤ℓ≤s1\le\ell\le s であり、すべての 1≤i≤s1\le i\le s に対して ai≤qia_i\le qi である。