MathLabs

第6問

a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\ldots を正の実数からなる数列とする。ある正整数 ss に対して、すべての n>sn>s で an=max⁡{ak+an−k∣1≤k≤n−1}a_n=\max\{a_k+a_{n-k}\mid 1\le k\le n-1\} が成り立つと仮定する。ℓ≤s\ell\le s を満たす正整数 ℓ\ell と正整数 NN が存在して、すべての n≥Nn\ge N で an=aℓ+an−ℓa_n=a_\ell+a_{n-\ell} となることを証明せよ。
ステップ 4/9: 線形成分を引く
前のステップ次のステップ
bn=an−qn,bℓ=0,bi≤0 (1≤i≤s)b_n=a_n-qn,\qquad b_\ell=0,\qquad b_i\le0\ (1\le i\le s)
詳しい解説

bn=an−qnb_n=a_n-qn と定める。qq の選び方から bℓ=0,bi≤0 (1≤i≤s)b_\ell=0,\qquad b_i\le0\ (1\le i\le s) である。前段階の展開を用いると、各展開は bijb_{i_j} の和であり初期項はすべて非正なので、すべての nn で bn≤0b_n\le0 となる。