すべての b1,…,bsb_1,\ldots,b_sb1,…,bs がゼロなら、漸化式からすべての nnn で bn=0b_n=0bn=0 となり、an=qna_n=qnan=qn と aℓ=qℓa_\ell=q\ellaℓ=qℓ から結論が直ちに従う。そうでなければ M=max1≤i≤s(−bi)M=\max_{1\le i\le s}(-b_i)M=max1≤i≤s(−bi) と ε=min{−bi:bi<0}>0\varepsilon=\min\{-b_i:b_i<0\}>0ε=min{−bi:bi<0}>0 を置く。分割 n=ℓ+(n−ℓ)n=\ell+(n-\ell)n=ℓ+(n−ℓ) が使えるので bn≥bn−ℓb_n\ge b_{n-\ell}bn≥bn−ℓ であり、これを初期添字まで繰り返せば −M≤bn≤0-M\le b_n\le0−M≤bn≤0 となる。したがって bnb_nbn の各展開には高々 M/εM/\varepsilonM/ε 個の負の項しかなく、bnb_nbn の値は初期値の和からなる有限集合に属する。