MathLabs

第6問

a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\ldots を正の実数からなる数列とする。ある正整数 ss に対して、すべての n>sn>s で an=max⁡{ak+an−k∣1≤k≤n−1}a_n=\max\{a_k+a_{n-k}\mid 1\le k\le n-1\} が成り立つと仮定する。ℓ≤s\ell\le s を満たす正整数 ℓ\ell と正整数 NN が存在して、すべての n≥Nn\ge N で an=aℓ+an−ℓa_n=a_\ell+a_{n-\ell} となることを証明せよ。
ステップ 8/9: 安定性を漸化式へ戻す
前のステップ次のステップ
bn=bn−ℓ+bℓ=bn−ℓ(n≥N)b_n=b_{n-\ell}+b_\ell=b_{n-\ell}\quad(n\ge N)
詳しい解説

n≥Nn\ge N では bn=bn−ℓ+bℓ=bn−ℓ(n≥N)b_n=b_{n-\ell}+b_\ell=b_{n-\ell}\quad(n\ge N) である。これは正規化した漸化式で、特別な添字 ℓ\ell による分割が最大値を達成することを意味する。