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第1問

四つの相異なる正の整数からなる任意の集合 A={a1,a2,a3,a4}A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\} に対し、和 a1+a2+a3+a4a_1+a_2+a_3+a_4 を sAs_A と表す。1≤i<j≤41\le i<j\le4 を満たす組 (i,j)(i,j) のうち ai+aja_i+a_j が sAs_A を割り切るものの個数を nAn_A とする。nAn_A の取り得る最大値を達成する、四つの相異なる正の整数からなる集合 AA をすべて求めよ。
ステップ 2/5: 残る二つの和が sA を均等に分けることを示す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

a1+a4 が sA を割るとき、補いの和 a2+a3 も sA を割るためには、両者が sA をちょうど半分に分けるしかない。

a1+a4=a2+a3=sA2a_1+a_4=a_2+a_3=\dfrac{s_A}{2}
詳しい解説

nA=4n_A=4 を達成するには a1+a2,a1+a3,a1+a4,a2+a3a_1+a_2,a_1+a_3,a_1+a_4,a_2+a_3 がすべて sAs_A を割る必要がある。d=a1+a4d=a_1+a_4 とおく。d∣sAd\mid s_A なので sA=dts_A=dt（t≥2t\ge2）と書ける。すると a2+a3=sA−d=d(t−1)a_2+a_3=s_A-d=d(t-1) であり、これも sAs_A を割るには d(t−1)∣dtd(t-1)\mid dt、すなわち (t−1)∣t(t-1)\mid t、すなわち (t−1)∣1(t-1)\mid1 が必要で、t=2t=2 が強制される。よって a1+a4=a2+a3=sA2a_1+a_4=a_2+a_3=\dfrac{s_A}{2}。