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第1問

四つの相異なる正の整数からなる任意の集合 A={a1,a2,a3,a4}A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\} に対し、和 a1+a2+a3+a4a_1+a_2+a_3+a_4 を sAs_A と表す。1≤i<j≤41\le i<j\le4 を満たす組 (i,j)(i,j) のうち ai+aja_i+a_j が sAs_A を割り切るものの個数を nAn_A とする。nAn_A の取り得る最大値を達成する、四つの相異なる正の整数からなる集合 AA をすべて求めよ。
ステップ 3/5: 残る二つの和をパラメータ化する
ざっくり言うと

sA のより小さい二つの約数は sA/2 より真に小さく、その大小関係はもとの数の大小関係と一致する。

a1+a3=sAn,a1+a2=sAma_1+a_3=\dfrac{s_A}{n},\quad a_1+a_2=\dfrac{s_A}{m}
詳しい解説

a3<a4a_3<a_4 より a1+a3<a1+a4=sA/2a_1+a_3 < a_1+a_4 = s_A/2 が成り立つので、a1+a3=sAna_1+a_3=\dfrac{s_A}{n} と書くと n>2n>2、すなわち n≥3n\ge3 が強制される。同様に a2<a3a_2<a_3 から a1+a2<a1+a3a_1+a_2<a_1+a_3 となるので、a1+a2=sAma_1+a_2=\dfrac{s_A}{m} と書くと m>nm>n が強制される。