MathLabs

第1問

四つの相異なる正の整数からなる任意の集合 A={a1,a2,a3,a4}A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\} に対し、和 a1+a2+a3+a4a_1+a_2+a_3+a_4 を sAs_A と表す。1≤i<j≤41\le i<j\le4 を満たす組 (i,j)(i,j) のうち ai+aja_i+a_j が sAs_A を割り切るものの個数を nAn_A とする。nAn_A の取り得る最大値を達成する、四つの相異なる正の整数からなる集合 AA をすべて求めよ。
ステップ 4/5: n と m を確定する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

a1 が正であることから n, m の大きさに制約が生まれ、n<m と合わせると可能性は二つに絞られる。

2a1=(a1+a3)+(a1+a2)−(a2+a3)=sA(1n+1m−12)2a_1=(a_1+a_3)+(a_1+a_2)-(a_2+a_3)=s_A\left(\dfrac1n+\dfrac1m-\dfrac12\right)
詳しい解説

三つの式をまとめると 2a1=(a1+a3)+(a1+a2)−(a2+a3)=sA(1n+1m−12)2a_1=(a_1+a_3)+(a_1+a_2)-(a_2+a_3)=s_A\left(\dfrac1n+\dfrac1m-\dfrac12\right) が得られる。a1>0a_1>0 なので 1n+1m>12\dfrac1n+\dfrac1m>\dfrac12 が強制される。もし n≥4n\ge4 なら 1n≤14\dfrac1n\le\dfrac14 となり 1/m>1/41/m>1/4 が必要、すなわち m<4≤nm<4\le n となって m>nm>n に反する。よって n=3n=3。このとき 1m>12−13=16\dfrac1m>\dfrac12-\dfrac13=\dfrac16 より m<6m<6、m>n=3m>n=3 と合わせて m∈{4,5}m\in\{4,5\} のみが残る。