第1問

$(n,m)=(3,4)$ のとき、連立方程式を解くと $a_1=\dfrac{s_A}{24},\ a_2=\dfrac{5s_A}{24},\ a_3=\dfrac{7s_A}{24},\ a_4=\dfrac{11s_A}{24}$、すなわち正の整数 $k$ を用いて $A=\{k,5k,7k,11k\}$（このとき $s_A=24k$）となる。$(n,m)=(3,5)$ のときは $a_1=\dfrac{s_A}{60},\ a_2=\dfrac{11s_A}{60},\ a_3=\dfrac{19s_A}{60},\ a_4=\dfrac{29s_A}{60}$、すなわち $A=\{k,11k,19k,29k\}$（このとき $s_A=60k$）となる。どちらの系列でも $a_1+a_4=a_2+a_3=s_A/2$ であり、$a_1+a_3,a_1+a_2$ は $s_A$ を割り、$a_2+a_4,a_3+a_4$ は $s_A/2$ と $s_A$ の間にあることを直接確認できるので $n_A=4$。これらがまさに最大値を達成する集合である。