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第2問

平面上の少なくとも2点からなる有限集合 SS を考え、SS のどの3点も同一直線上にないとする。風車とは、ただ一点 P∈SP\in S を通る直線から始まる過程である。直線は軸 PP を中心に時計回りに回転し、SS に属する他の点に初めて出会うまで回転を続ける。この点 QQ が新しい軸となり、直線は今度は QQ を中心に時計回りに回転し、次に SS の点に出会うまで続く。この過程は永遠に続く。SS の中から点 PP と、PP を通る直線をうまく選べば、得られる風車が SS のすべての点を無限回軸として使うことを示せ。
ステップ 2/6: 各頂点を通る釣り合い直線を構成する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

固定した頂点を中心に直線を180°回転させると、右側の点の個数はちょうど一つずつ変化するので、途中で釣り合った値を必ず通過する。

0→k→n−1−k0\to k\to n-1-k
詳しい解説

頂点 PP を固定し、PP を通る任意の通常直線から出発する（右側に kk 個の点があるとする）。直線が PP を中心に 180∘180^\circ 回転する間、他の n−1n-1 個の頂点 QQ はそれぞれちょうど一度だけ辺を入れ替える。それは直線の向きが PQPQ の向き（三点非共線より互いに異なる）を通過する瞬間である。半回転後、右側の個数は kk から n−1−kn-1-k に変化し、各交差でちょうど 11 ずつ変わる。したがって途中のある通常な向きで右側の個数が ⌊n−12⌋\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor に等しくなり、そのときの直線が求める PP を通る通常の釣り合い直線である。