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第2問

平面上の少なくとも2点からなる有限集合 SS を考え、SS のどの3点も同一直線上にないとする。風車とは、ただ一点 P∈SP\in S を通る直線から始まる過程である。直線は軸 PP を中心に時計回りに回転し、SS に属する他の点に初めて出会うまで回転を続ける。この点 QQ が新しい軸となり、直線は今度は QQ を中心に時計回りに回転し、次に SS の点に出会うまで続く。この過程は永遠に続く。SS の中から点 PP と、PP を通る直線をうまく選べば、得られる風車が SS のすべての点を無限回軸として使うことを示せ。
ステップ 3/6: 右側の個数は永遠に釣り合ったまま
ざっくり言うと

回転軸が交代するたびに、旧軸と新軸は単に左右を入れ替えるだけなので、風車の全過程で右側の個数は実は変わらない。

⌊n−12⌋\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor
詳しい解説

前段で構成した通常の釣り合い直線から風車を開始する。軸が交代するたびに直線はちょうど一つの頂点を通過し、旧軸と新軸は単に左右を入れ替えるだけで他の頂点はすべて元の側にとどまる。したがって右側の個数は各軸交代の直前と直後で完全に等しい。最初 ⌊n−12⌋\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor であったので、この無限に続く風車の間に現れるすべての通常直線は再び ⌊n−12⌋\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor 個の頂点を右側に持つ、すなわち再び釣り合い直線である。