第2問
平面上の少なくとも2点からなる有限集合 を考え、 のどの3点も同一直線上にないとする。風車とは、ただ一点 を通る直線から始まる過程である。直線は軸 を中心に時計回りに回転し、 に属する他の点に初めて出会うまで回転を続ける。この点 が新しい軸となり、直線は今度は を中心に時計回りに回転し、次に の点に出会うまで続く。この過程は永遠に続く。 の中から点 と、 を通る直線をうまく選べば、得られる風車が のすべての点を無限回軸として使うことを示せ。
ざっくり言うと
軸の交代は点対が定める有限個の向きでしか起こらず、配置全体を半回転させると元に戻るので、同じ向きのリストが永遠に繰り返される。
詳しい解説
軸の交代が起こるのは、回転する直線の向きが二頂点を結ぶ線分の向きと一致するときに限られ、そのような向きは有限個しかない。任意の直線を 回転させると、同じ点を通る同じ（向きなし）直線に戻るので、軸交代を引き起こす有限個の向きのパターンは回転 ごとにそっくり繰り返される。風車は永遠に時計回りに回転し続けるので、一度でも現れた有限個の通常な向きはそれぞれ、その後の ごとに再び現れ、すなわち無限回現れる。