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第2問

平面上の少なくとも2点からなる有限集合 SS を考え、SS のどの3点も同一直線上にないとする。風車とは、ただ一点 P∈SP\in S を通る直線から始まる過程である。直線は軸 PP を中心に時計回りに回転し、SS に属する他の点に初めて出会うまで回転を続ける。この点 QQ が新しい軸となり、直線は今度は QQ を中心に時計回りに回転し、次に SS の点に出会うまで続く。この過程は永遠に続く。SS の中から点 PP と、PP を通る直線をうまく選べば、得られる風車が SS のすべての点を無限回軸として使うことを示せ。
ステップ 5/6: 各向きに釣り合い直線は高々一つしかない
ざっくり言うと

固定した通常な向きの直線をすべての点にわたって掃引すると、右側の個数はちょうど一つずつ減っていくので、その掃引上で釣り合いの軸になれる頂点はちょうど一つしかない。

⌊n−12⌋\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor
詳しい解説

通常な向き δ\delta を固定し、向き δ\delta の直線を平面上で平行移動させる。δ\delta が通常なので掃引上で二頂点が同じ位置に並ぶことはなく、掃引直線が頂点を通過するたびに右側の頂点数はちょうど 11 減る。したがって、その値がちょうど ⌊n−12⌋\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor になる瞬間の頂点はただ一つであり、向き δ\delta を持つ釣り合い直線は高々一つしかない。