第2問
平面上の少なくとも2点からなる有限集合 を考え、 のどの3点も同一直線上にないとする。風車とは、ただ一点 を通る直線から始まる過程である。直線は軸 を中心に時計回りに回転し、 に属する他の点に初めて出会うまで回転を続ける。この点 が新しい軸となり、直線は今度は を中心に時計回りに回転し、次に の点に出会うまで続く。この過程は永遠に続く。 の中から点 と、 を通る直線をうまく選べば、得られる風車が のすべての点を無限回軸として使うことを示せ。
ざっくり言うと
P を通るように構成した特別な向きは、P を通る釣り合い直線でしか実現され得ず、その向きは永遠に戻り続ける。
詳しい解説
先に構成した を通る通常の釣り合い直線の向きを とし、その直線から風車を開始する。不変性より、この風車に現れる通常直線はすべて釣り合い直線であり、前段より向き を持つ釣り合い直線は を通るものだけである。したがって向き が風車の中で再び現れるたびに、その瞬間の軸は でなければならない。 はその後 回転するごとに再び現れるので、 は無限回軸になる。 は の任意の頂点だったので、選んだ任意の点を通る釣り合い直線から風車を開始すれば、同じ議論により のすべての頂点が無限回軸として使われることが分かる。