第3問

実数全体の集合上で定義された実数値関数

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

が、任意の実数

x

と

y

に対して

f(x+y)\le yf(x)+f(f(x))

を満たすとする。

x\le0

のとき常に

f(x)=0

となることを証明せよ。

ステップ 1/5: 二つの特別な値に名前を付け、f を全体で評価する

ざっくり言うと

x=0 を代入すると、不等式は f(0) と f(f(0)) を用いた f の単純な一次上界になる。

f(y)\le ay+b

詳しい解説

$a=f(0)$ 、 $b=f(f(0))=f(a)$ とおく。与えられた不等式で $x=0$ とおくと、任意の実数 $y$ に対して $f(y)\le ay+b$ が成り立つ。