手順1の評価を f(x) に適用すると、謎めいた項 f(f(x)) を抑えられる。f(x) の項を消すように y を選べば、f(x) が全く残らない評価が得られる。
手順1の評価で yyy を f(x)f(x)f(x) に置き換えると f(f(x))≤af(x)+bf(f(x))\le af(x)+bf(f(x))≤af(x)+b が得られる。これを元の不等式 f(x+y)≤yf(x)+f(f(x))f(x+y)\le yf(x)+f(f(x))f(x+y)≤yf(x)+f(f(x)) に代入すると、任意の x,yx,yx,y に対して f(x+y)≤(y+a)f(x)+bf(x+y)\le (y+a)f(x)+bf(x+y)≤(y+a)f(x)+b が成り立つ。ここで y=−ay=-ay=−a とおくと係数 y+ay+ay+a が消えるので f(x−a)≤bf(x-a)\le bf(x−a)≤b となる。xxx が実数全体を動けば x−ax-ax−a も実数全体を動くので、任意の実数 zzz に対して f(z)≤bf(z)\le bf(z)≤b が成り立つ。