第3問

実数全体の集合上で定義された実数値関数

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

が、任意の実数

x

と

y

に対して

f(x+y)\le yf(x)+f(f(x))

を満たすとする。

x\le0

のとき常に

f(x)=0

となることを証明せよ。

ステップ 5/5: y = -x で仕上げる

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

二つの定数が消えた今、ある点をその負の平行移動と比べると、負の入力も 0 未満にはなれないことが分かり、ちょうど 0 に固定される。

f(x)=0\ \text{for all}\ x\le0

詳しい解説

$a=b=0$ のとき、手順3の不等式 $f(x+y)\le yf(x)+b$ は $f(x+y)\le yf(x)$ となる。 $y=-x$ とおくと $f(0)\le -xf(x)$ となり、 $f(0)=a=0$ なのでこれは任意の実数 $x$ に対し $xf(x)\le0$ を意味する。 $x<0$ のとき、負の数 $x$ で割ると不等号が反転して $f(x)\ge0$ となり、手順3の大域評価 $f(x)\le0$ と合わせて、すべての $x<0$ で $f(x)=0$ が強制される。 $f(0)=0$ は既に分かっている。よって $f(x)=0\ \text{for all}\ x\le0$ 。