ちょうど 2n-1 対 1 の対応は、数え上げの式では直接掛け算になり、下から順にすべての奇数の因子を掛け合わせると二重階乗が得られる。
n−1n-1n−1 個の重りの有効な配置はどれも忘却写像のもとで正確に 2n−12n-12n−1 個の原像を持つので、n≥2n\ge2n≥2 に対して f(n)=(2n−1)f(n−1)f(n)=(2n-1)f(n-1)f(n)=(2n−1)f(n−1) が成り立ち、f(1)=1f(1)=1f(1)=1 と合わせて成立する。展開すると f(n)=(2n−1)(2n−3)⋯3⋅1⋅f(1)f(n)=(2n-1)(2n-3)\cdots3\cdot1\cdot f(1)f(n)=(2n−1)(2n−3)⋯3⋅1⋅f(1) となり、f(n)=1⋅3⋅5⋯(2n−1)=(2n−1)!!f(n)=1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)=(2n-1)!!f(n)=1⋅3⋅5⋯(2n−1)=(2n−1)!!：nnn 個すべての重りを配置する有効な方法の数は最初の nnn 個の奇数の積である。