第5問

f

を整数全体の集合から正の整数全体の集合への関数とする。任意の二つの整数

m

と

n

に対し、差

f(m)-f(n)

が

f(m-n)

で割り切れると仮定する。

f(m)\le f(n)

を満たすすべての整数

m

と

n

に対して、

f(n)

が

f(m)

で割り切れることを証明せよ。

ステップ 2/5: f は偶関数である

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

0 と x、x と 0 をそれぞれ比べると、f(x), f(-x) の一方がもう一方の f(0) までの差を割り切ることが分かり、前段と合わせると両者は互いに割り切る。

f(x)=f(-x)

詳しい解説

$m=0,n=-x$ とおくと $f(x)\mid f(0)-f(-x)$ が得られ、 $f(x)\mid f(0)$ と合わせて $f(x)\mid f(-x)$ が分かる。 $m=0,n=x$ とおくと $f(-x)\mid f(0)-f(x)$ が得られ、 $f(-x)\mid f(0)$ と合わせて $f(-x)\mid f(x)$ が分かる。互いに割り切り合う二つの正の整数は等しいので、任意の整数 $x$ に対して $f(x)=f(-x)$ である。