第5問

f

を整数全体の集合から正の整数全体の集合への関数とする。任意の二つの整数

m

と

n

に対し、差

f(m)-f(n)

が

f(m-n)

で割り切れると仮定する。

f(m)\le f(n)

を満たすすべての整数

m

と

n

に対して、

f(n)

が

f(m)

で割り切れることを証明せよ。

ステップ 3/5: 互いの差を制御し合う三つの値

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

三つの組 (x,y), (x,x-y), (y,y-x) を仮定に代入し、f が符号を無視することを使うと、f(x), f(y), f(x-y) はそれぞれ他の二つの差を割り切ることが分かる。

f(x-y)\mid f(x)-f(y),\ \ f(y)\mid f(x)-f(x-y),\ \ f(x)\mid f(y)-f(x-y)

詳しい解説

任意の整数 $x,y$ に対して、仮定で $m=x,n=y$ とおくと直ちに $f(x-y)\mid f(x)-f(y)$ が得られる。 $m=x,n=x-y$ とおくと $f(y)\mid f(x)-f(x-y)$ が得られる。 $m=y,n=y-x$ とおくと $f(x)\mid f(y)-f(y-x)$ が得られ、前段より $f(y-x)=f(x-y)$ なのでこれは $f(x)\mid f(y)-f(x-y)$ を意味する。まとめると $f(x-y)\mid f(x)-f(y),\ \ f(y)\mid f(x)-f(x-y),\ \ f(x)\mid f(y)-f(x-y)$ 。