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第6問

ABCABC を外接円 Γ\Gamma をもつ鋭角三角形とする。ℓ\ell を Γ\Gamma の接線とし、ℓa\ell_a, ℓb\ell_b, ℓc\ell_c をそれぞれ ℓ\ell を直線 BCBC, CACA, ABAB に関して反射して得られる直線とする。直線 ℓa,ℓb,ℓc\ell_a,\ell_b,\ell_c が定める三角形の外接円が円 Γ\Gamma に接することを示せ。
ステップ 2/6: 接線を三辺で反射する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

接線上の都合のよい二点を、ある辺に関して（単位円の弦に対する標準的な鏡映公式を用いて）反射し、その像を結ぶ直線を作ると、各反射直線について整った閉じた式が得られる。

t2z+(bc)2zˉ=(b+c)(t2+bc)−2t bct^2z+(bc)^2\bar z=(b+c)(t^2+bc)-2t\,bc
詳しい解説

単位点 p,qp,q を通る弦に関する反射は、点 zz を p+q−pqzˉp+q-pq\bar z に送る。これを ℓ\ell の都合のよい二点（接点 tt 自身と、ℓ\ell 上のもう一点）に、辺 BCBC（b,cb,c を通る）に関して適用し、その像を通る複素直線の方程式を立てると、簡約後に反射直線 ℓa: t2z+(bc)2zˉ=(b+c)(t2+bc)−2t bc\ell_a:\ t^2z+(bc)^2\bar z=(b+c)(t^2+bc)-2t\,bc が得られる。CACA、ABAB についても同じ計算により ℓb: t2z+(ca)2zˉ=(c+a)(t2+ca)−2t ca\ell_b:\ t^2z+(ca)^2\bar z=(c+a)(t^2+ca)-2t\,ca、ℓc: t2z+(ab)2zˉ=(a+b)(t2+ab)−2t ab\ell_c:\ t^2z+(ab)^2\bar z=(a+b)(t^2+ab)-2t\,ab が得られる。