MathLabs

第6問

ABCABC を外接円 Γ\Gamma をもつ鋭角三角形とする。ℓ\ell を Γ\Gamma の接線とし、ℓa\ell_a, ℓb\ell_b, ℓc\ell_c をそれぞれ ℓ\ell を直線 BCBC, CACA, ABAB に関して反射して得られる直線とする。直線 ℓa,ℓb,ℓc\ell_a,\ell_b,\ell_c が定める三角形の外接円が円 Γ\Gamma に接することを示せ。
ステップ 4/6: 新しい三角形の外接円を求める
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

一般の円の方程式を三頂点に当てはめると、また別の連立一次方程式になり、対称な略記でまとめると、二つの定数はどちらも短い式に落ち着く。

U=−(tS−P)2t2Q,1+V=2(tS−P)(E−t)tQU=-\dfrac{(tS-P)^2}{t^2Q},\quad 1+V=\dfrac{2(tS-P)(E-t)}{tQ}
詳しい解説

E=a+b+cE=a+b+c、Q=(a+b)(b+c)(c+a)Q=(a+b)(b+c)(c+a) とおく（Q=ES−PQ=ES-P に注意）。任意の円は複素数 UU（中心は −U-U）と実数 VV を用いて zzˉ+Uˉz+Uzˉ+V=0z\bar z+\bar Uz+U\bar z+V=0 と書ける。前段の三点 A′,B′,C′A',B',C' を代入し、U,Uˉ,VU,\bar U,V に関する連立一次方程式を解いて簡約すると U=−(tS−P)2t2Q,1+V=2(tS−P)(E−t)tQU=-\dfrac{(tS-P)^2}{t^2Q},\quad 1+V=\dfrac{2(tS-P)(E-t)}{tQ} が得られる。